Geometric Group Theory WS25

Lecture: Tuesday and Thursday 8:30 -- 10:00, SR 4
Exercise class: Monday 9:15 -- 10:45, SR 4

Each week on Friday, an exercise sheet will be published, which is to be handed in on the following Friday, and will be discussed in the ensuing exercise class on Monday. In the first week there will be no exercise class, and in the second week we will have in-class exercises.

Evaluation is through an oral examination at the end of the semester. To take the exam, students need to register for the lecture on HeiCO, and to contact the TA or Prof. Schwer for scheduling the exam. The dates for the exams are:

• Friday, February 6,
• Monday/Tuesday, February 23/24,
• Friday, March 20.

Please let us know your preferred date by Tuesday, February 3.

Here are the evaluation criteria: Bewertungsbogen mündliche Prüfungen.

Attendance of the lectures and exercise classes, as well as homework submission, are optional. Students are however encouraged to work on the problem sheets and submit their work individually or in groups, and to present their solutions in class. Homework can be submitted by e-mail to jquintanilha [at] mathi [dot] uni-heidelberg [dot] de.

Pre-requisites: Basic group theory and linear algebra.

Problem sheet 0

Woche 01: Gruppen und metrische Räume

Inhalt: Wiederholung einiger wichtiger Themen zu Gruppen und metrischen Räumen
Lernziele:

• Was besagt der Satz von Cayley?
  
• Wie können wir neue Gruppen aus alten konstruieren?
  
• Was sind Erzeugendensysteme?
  
• Einige wichtige Beispiele von Gruppen und metrischen Räumen

Problem sheet 1

Woche 02: Cayleygraphen

Inhalt: Gruppenwirkungen auf Graphen, Cayleygraphen
Lernziele:

• Was sind (freie, treue, transitive) Gruppenwirkungen? + Beispiele dafür?
  
• Was sind Gruppenwirkungen auf Graphen?
  
• Eigenschaften von Cayleygraphen

Problem sheet 2

Woche 03: Freie Gruppen und Bäume

Inhalt: Präsentation und Konstruktion freier Gruppen, Wirkung auf Bäumen
Lernziele:

• Konstruktion und Definition von freien Gruppen
  
• Universelle Eigenschaft; Eindeutige reduzierte Form für Elemente
  
• Zusammenhang Bäume und freie Gruppen
  

Problem sheet 3

Woche 04: Ping-Pong Lemma

Inhalt: Satz von Nielsen Schreier, Ping-Pong Lemma
Lernziele:

• Was ist das Ping-Pong Lemma?
• Was sagt der Satz von Nielsen-Schreier?

Problem sheet 4

Woche 05: Endlich präsentierte Gruppen & Cayleygraphen  

Inhalt: Rang, endliche Präsentierungen, Klassen von Gruppen; metrische Graphen, ko-beschränkte Wirkung auf Cayleygraphen
Lernziele:

• Definition einer Gruppenpräsentierung, Beispiele
  
• Universelle Eigenschaft
  
• Wichtige Beispielklassen

Problem sheet 5

Woche 06: Satz von Milnor-Svarc  

Inhalt: S.v. Sabidussi, quasi-Isometrie, Milnor-Svarc
Lernziele:

• Metrische Realisierung von Graphen
  
• Eigentlich diskontinuierliche Wirkungen
  
• Satz von Milnor-Svarc
  
• Welche Graphen sind Cayleygraphen einer Gruppe?

Problem sheet 6

Woche 07: Satz von Milnor-Svarc und QI-Invarianten  

Inhalt: Folgerungen aus Milnor-Svarc, Quasi-Isometrie, QI-Invarianten und Beispiele dafür
Lernziele:

• Quasi-Isometrien und ihre Eigenschaften
  
• Gruppen als Symmetrien von Räumen
  
• Was sind geometrische Wirkungen? Warum sind sie interessant?
  
• Welche Eigenschaften einer Gruppe sind invariant unter grober-Äquivalenz?

Problem Sheet 7,

Comment on Problem 2

Woche 08: Rest QI-Invarianten & Hyperbolische Räume  

Inhalt: endlich präsentiert ist geometrisch; Krümmung, dünne Dreiecke
Lernziele:

• Was sind quasi-Isometrie - Invarianten?
  
• Endlich präsentierte Gruppen
  
• Der Präsentationskomplex - jede f.p. Gruppe ist Symmetriemenge eines schönen Raumes
  
• Hyperbolische Räume und nicht-positive Krümmung (delta-Hyperbolizität)
  Was bedeutet Stabilität für (quasi) Geodätische

Problem sheet 8

Woche 09: Rest hyperbolische Räume und das Wortproblem  

Inhalt: oberes Halbebenenmodell, verbotene UG; Das WP, Dehn-Präsentierungen
Lernziele:

• Was sind hyperbolische Gruppen?
  
• Welche Eigenschaften haben sie?
  
• Was ist das Wortproblem?
  
• Warum ist das Wortproblem für freie und hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Was sind Dehn Präsentierungen?

Problem sheet 9

Woche 10: Das Wortproblem - Teil 2  

Inhalt: Trapping, Lösbarkeit für gewisse Gruppen
Lernziele:

• Was ist das Wortproblem?
  
• Warum ist das Wortproblem für hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Was sind Dehn Präsentierungen?
  
• Wie zeigt man den Zusammenhang zwischen Dehn-Präsentierungen und lösbarem Wortproblem?
  
• Wie funktioniert der Algorithmus zur Lösung des WPs?

Problem sheet 10

Woche 11: Das Konjugationsproblem  

Inhalt: Konjugationsproblem für hyperbolische Gruppen
Lernziele:

• Was ist das Konjugationsproblem?
  
• Warum ist das Konjugationsproblem für hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Welche Rolle spielt dabei das Wortproblem und dessen Lösbarkeit?
  
• Wie funktioniert der Algorithmus zur Lösung des KPs?

Woche 12: Gruppenwachstum  

Inhalt: Definition Gruppenwachstum, Wachstumstypen, QI-Invarianz
Lernziele:

• Was ist eine (verallgemeinerte) Wachstumsfunktion?
  
• Was ist der Wachstumstyp einer Gruppe?
  
• Wie zeigt man QI-Invarianz des Wachstumstyps?
  
• Wie hängt der Wachstumstyp einer Gruppe mit dem von Untergruppen zusammen?
  
• Kennen Sie Beispiele?

Problem Sheet 11

Woche 13: Enden von Gruppen (Teil 1)  

Inhalt: Strahlen, Enden von Graphen, QI-Invarianz, Definition von Enden von Gruppen
Lernziele:

• Was sind eigentliche Strahlen?
  
• Wie ist das Ende eines Graphen definiert?
  
• Was ist das Ende einer Gruppe und warum ist es wohldefiniert?
  
• Wie definiert man daraus eine QI-Invariante?

Woche 14: Enden von Gruppen (Teil 2)  

Inhalt: Satz von Freudenthal-Hopf
Lernziele:

• Was besagt der Satz?
  
• Wie zeigt man den Satz?
  
• Wie lassen sich Gruppen mit 0 bzw 2 Enden charakterisieren?
  
• Kennen Sie Beispiele?

Here is the course website of the same lecture held in the winter term 2024/25: GGT Winter Semester 2024

Overview on quasi-Isometries and related notions:

• Quasi-Isometrie und verwandte Begriffe

It will not be necessary to consult literature beyond the lecture notes in order successfully take part in the course.

Typed lecture notes (in German) will be made available as the semester unfolds.

Nevertheless, here are some additional resources:

• Bridson, M., Haefliger, A. - Metric spaces of non-positive curvature, Springer, 1999.
• Löh, C. - Geometric group theory. An introduction, Springer International Publishing, 2017. (SpringerLink)
• Bridson, M. - Geometric and combinatorial group theory. (Übersichtsartikel)
• Rosebrock, S. - Geometrische Gruppentheorie. Ein Einstieg mit dem Computer Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 2010. (SpringerLink)
• Stillwell, J. - Classical topology and combinatorial group theory, 2nd ed, Springer, 1993.
• Lyndon, R., Schupp, P. - Combinatorial group theory, Springer, 1977.
• Serre, J.-P. - Trees, corrected 2nd print, Springer, 2003.