Coxeter groups and buildings

Benötigte Vorkenntnisse: Lineare Algebra und grundlegende Gruppentheorie.
Übungsblatt 0 (Präsenzübungen)

Themenblock 1: Coxetergruppen

Coxetergruppen, ihre kombinatorischen Eigenschaften und geometrische Realisierungen

Woche 01 (18/19 April): Erste Beispiele und eine Einführung

Inhalt: Fano Ebene, Beispiele und eine formale Definition; Wiederholen: Darstellung einer Gruppe über Quotienten von freien Gruppen, semidirekte Produkte
Material: [GM] Chapter 7, [L] Kapitel 2.2 jeweils für Gruppenpräsentierungen mittels Erzeugern und Relationen
Lernziele:

• Was ist eine Gruppenpräsentierung mittels Erzeuger und Relationen?
• Wie sind Coxetergruppen definiert?
• Welche Beispiele für Coxetergruppen haben Sie gesehen?

Notizen: VL01, VL02
Übungsblatt 1 - bis zum 26. April vormittags einzureichen.

Woche 02 (24/25 April): Kombinatorik von Coxetergruppen

Inhalt: Wortlänge und Wortmetrik, Eigenschaften davon; Spiegelsysteme, Deletion und Exchange condition, Cayleygraphen
Material: [T] Kapitel 2.1 bis 2.4, [D] Beweis Theorem 3.4.2 (Thm 2.22 in [T]) oder [BB] Sec 1
Lernziele:

• Was ist ein Cayley graph? Kennen Sie Beispiele?
• Was sind Spiegelsysteme für Coxetergruppen? Kennen Sie (Nicht-)Beispiele?
• Was ist die deletion condition?
• Was ist die exchange condition?

Notizen: VL03, VL04 (Live-Notizen: VL03, VL04)
Übungsblatt 2 - bis zum 3. Mai vormittags einzureichen.

Woche 03 (2/3 Mai): Die Lösch- und Austauschbedingung

Inhalt: Beweis der Charakterisierung von Coxetergruppen mittels deletion und exchange condition
Material: [T] Kapitel 2, gegebenenfalls die Literaturhinweise in diesem Kapitel
Lernziele:

• Wie werden Coxetergruppen durch die deletion und exchange condition charakterisiert?
• Wie beweist man das?
• Was ist das Wortproblem?
• Was hat das Wortproblem mit der Charakterisierung über die deletion condition zu tun?

Notizen: VL05, VL06
Übungsblatt 3 - bis zum 10. Mai vormittags einzureichen.

Woche 04 (10 Mai): Tits Darstellung und Treuheit

Inhalt: Tits Darstellung einer Coxetergruppe; Treuheit der Darstellung, Konsequenzen davon
Material: [T] Kapitel 3, gegebenenfalls die Literaturhinweise in diesem Kapitel; [H] Beweis Satz 5.5
Lernziele:

• Was ist die Tits'sche Darstellung einer Coxetergruppe?
• Welche Eigenschaften und geometrische Interpretation hat sie?
• Was ist eine treue Darstellung?
• Wie zeigt man, dass die Tits'sche Darstellung treu ist?
• Was hat das für Folgen für die Gruppe?

Notizen: VL07 (Live-Notizen: VL07)
Übungsblatt 4 - bis zum 17. Mai vormittags einzureichen.

Woche 05 (16/17 Mai): Treuheit der Tits Darstellung part 2 -- Coxeter Komplexe

Inhalt: Treuheit der Tits Darstellung. Konsequenzen davon. Geometrische Interpretation der Tits Darstellung. Klassifikation der endlichen und affinen Coxetergruppen, Beispiele in Dimension 2.
Lernziele:

• Was bedeutet es für die Tits Darstellung treu zu sein?
• Was hat das für Konsequenzen?
• Was ist eine geometrische Darstellung?

Notizen: VL08, VL09
Übungsblatt 5 - bis zum 24. Mai vormittags einzureichen.

Woche 06 (23/24 Mai): Coxeter Komplexe -- Teil 2

Inhalt: Definition parabolische und special Untergruppen. Definition und Konstruktion Coxeterkomplex, kurze Wdh Simplizialkomplexe, Beispiele.
Lernziele:

• Was ist eine special subgroup und ein special coset?
• Was ist der Coxeter Komplex?
• Warum ist der Coxeter Komplex ein Simplizialkomplex?
• Welche (lokalen) Eigenschaften hat er?
• Wie lassen sich Coxeterkomplexe noch charakterisieren?

Notizen: VL09, VL10
Übungsblatt 6 - bis zum 31. Mai vormittags einzureichen.

Woche 07 (31 Mai): Local properties of the Coxeter complex

Inhalt: Definition of links, visibility of links, connection with manifolds.
Lernziele:

• What is a link?
• How can we "see" links in the Coxeter diagram?
• Which Coxeter groups act on manifolds?

Notizen: VL11 (Live-Notizen: VL11)
Übungsblatt 7 - bis zum 7. Juni vormittags einzureichen.

Woche 08 (6/7 Juni): Bruhat and weak order

Inhalt: The weak order, the lattice property, word problem and word property.
Material: [H] Section 9, [BB] Section 2, Chapter 3.1 - 3.3
Lernziele:

• Was ist Bruhat Ordnung?
• Wie kann man sie über Unterausdrücke charakterisieren?
• Wie ist der Zusammenhang mit Galerien im Coxeterkomplex
• Was ist die schwache Ordnung?
• Welche Eigenschaften hat sie?

Nur wenn noch behandelt:

• Was ist ein Gitter (=lattice) und warum liefert die schwache Ordnung solche?
• Was ist das Wort-Problem einer Gruppe?
• Ist das Wort-Problem für Coxetergruppen lösbar?
• Was ist die Wort-Eigenschaft einer Coxetergruppe?

Notizen: VL12, VL13
Übungsblatt 8 - bis zum 14. Juni vormittags einzureichen.

Themenblock 2: Gebäudetheorie

Woche 09 (13/14 Juni): Definition von Gebäuden und Beispiele

Inhalt: Axiomatischer Zugang zu Gebäuden, Konstruktion SL2-Baum und Fano-Ebene
Lernziele:

• Was ist ein (simpliziales) Gebäude?
• Wie wird der SL_2 Baum konstruiert?
• Was sind Gitterklassen und wie wird Nachbarschaft definiert?
• Woher weiß man wie der Baum verzweigt?
• Was ist die Fano Ebene und der Heawood Graph? Wie hängen die beiden zusammen?
• Warum liefert die Fano Ebene ein Gebäude?

Notizen: VL14, VL15 (Live-Notizen: VL15)
Übungsblatt 9 - bis zum 21. Juni vormittags einzureichen.

Woche 10 (20/21 Juni): Etwas Strukturtheorie

Inhalt: Retraktionen, Homotopietyp eines Gebäudes.
Material: [T] Kapitel 6, [B] Kapitel IV 1-3,5,6
Lernziele:

• Kennen Sie Beispiele für Gebäude?
• Warum sind links in Gebäuden wieder Gebäude?
• Was sind kanonische Retraktionen, wie definiert man sie?
• Kennen Sie Eigenschaften von Retraktionen?
• Welche Eigenschaften sind bei sphärischen Gebäuden besonders?

Notizen: VL16, VL17 (Live-Notizen: VL15 (cont), VL16)
Übungsblatt 10 - bis zum 28. Juni vormittags einzureichen.

Woche 11 (27/28 Juni): BN-Paare

Inhalt: Definition BN-Paare, Bruhat-Zerlegung, Gebäude zu einem BN-Paar, Wirkung auf dem Gebäude und Eigenschaften, parabolische Untergruppen.
Material: [T] Chapter 9.1 bis 9.4 + eventuell weiterführende Literaturhinweise in diesem Kapitel, [B] Chapter V, Section 1,2
Lernziele:

• Was ist ein BN-Paar? Können Sie ein Beispiel nennen?
• Wie konstruiert man aus einem BN-Paar ein Gebäude?
• Was ist die Bruhat-Zerlegung und was bedeutet sie geometrisch für das Gebäude?
• Was ist der Zusammenhang zu Retraktionen?
• Was sind parabolische Untergruppen und warum sind diese interessant?

Notizen: VL17, VL18
Übungsblatt 11 - bis zum 5. Juli vormittags einzureichen.

Woche 12 (4/5 Juli): Gebäude als Kammernsysteme

Inhalt: Kammernsysteme, W-wertige Abstandsfunktionen, Galerien, Gebäude als Kammernsysteme, Äquivalenz der Definitionen, nochmal Retraktionen.
Material: [T] Kapitel 7.1 bis 7.4 , Kapitel 8; sowie [R] Chapter 1 und 3
Lernziele:

• Was ist ein Kammernsystem? Kennen Sie ein Beispiel, das kein Gebäude ist?
• Was sind Galerien und W-wertige Abstandsfunktionen?
• Wie charakterisiert man ein Gebäude als Kammernsystem?

Notizen: VL19&20
Übungsblatt 12 - bis zum 12. Juli vormittags einzureichen.

Woche 13 (11/12 Juli): Sphärische und affine BN-Paare

Inhalt: Explizite Konstruktionen, affine und sphärische BN-Paare, Körper mit Bewertung, p-adische Zahlen.
Material: [T] Chapter 9.5, [B] Chapter V Sec 3, 5, 8, eventuell [R] Chapter 8
Lernziele:

• Wie unterscheiden sich sphärische und affine BN-Paare?
• Wie konstruiert man ein sphärisches Gebäude aus einem BN-Paar (in konkereten Beispielen)?
• Wie konstruiert man ein affines Gebäude zu einer Gruppe über einem Körper mit Bewertung?
• Was ist der Zusammenhang zwischen affinen und sphärischen Gebäuden?

Notizen: VL19&20, VL21&22 (Live-Notizen: VL20.1, VL20.2)
Übungsblatt 13 - bis zum 19. Juli vormittags einzureichen.

Woche 14 (18/19 Juli)

Notizen: VL21&22

[B] Kenneth Brown: Buildings
[BB] Anders Björner, Francesco Brenti: Combinatorics of Coxeter groups
[D] Mike Davis: The geometry and Topology of Coxeter groups
[GM] Israel Grossmann, Wilhelm Magnus: Groups and their graphs
[H] James Humphreys: Reflection groups and Coxeter groups
[L] Clara Löh: Geometric Group Theory
[R] Marc Ronan: Lectures on buildings
[T] Anne Thomas: Geometric and topological aspects of Coxeter groups and buildings