Geometric Group Theory WS24

Pre-requisites: Basic group theory and linear algebra.
Problem sheet 0 (in-class exercises)

Woche 01 (KW42): Gruppen und metrische Räume  

Inhalt: Wiederholung einiger wichtiger Themen zu Gruppen und metrischen Räumen; Gruppenwirkungen auf Graphen, Cayleygraphen
Lernziele:

• Was besagt der Satz von Cayley?
  
• Wie können wir neue Gruppen aus alten konstruieren?
  
• Was sind Erzeugendensysteme?
  
• Einige wichtige Beispiele von Gruppen und metrischen Räumen

Notizen: 01 - Gruppen und Räume, 02 - Gruppenwirkungen
Problem sheet 1

Woche 02 (KW43): Freie Gruppen I

Inhalt: Präsentation und Konstruktion freier Gruppen, Wirkung auf Bäumen
Lernziele:

• Was sind (freie, treue, transitive) Gruppenwirkungen + - Beispiele dafür?
  
• Was sind Gruppenwirkungen auf Graphen?
  
• Eigenschaften von Cayleygraphen

Notizen: 03 - Freie Gruppen I
Problem sheet 2

Woche 03 (KW44): Freie Gruppen II  

Inhalt: Satz von Nielsen Schreier, Ping-Pong Lemma
Lernziele:

• Konstruktion und Definition von freien Gruppen
  
• Universelle Eigenschaft; Eindeutige reduzierte Form für Elemente
  
• Zusammenhang Bäume und freie Gruppen
  
• Was ist das Ping-Pong Lemma?
  
• Was sagt der Satz von Nielsen-Schreier?

Notizen: 03 - Freie Gruppen II
Problem sheet 3

Woche 04 (KW45): Endlich präsentierte Gruppen & Cayleygraphen  

Inhalt: Rang, endliche Präsentierungen, Klassen von Gruppen; metrische Graphen, ko-beschränkte Wirkung auf Cayleygraphen
Lernziele:

• Definition einer Gruppenpräsentierung, Beispiele
  
• Universelle Eigenschaft
  
• Wichtige Beispielklassen

Notizen: 04 - Endlich präsentierte Gruppen
Problem sheet 4

Woche 05 (KW46): Satz von Milnor-Svarc  

Inhalt: S.v. Sabidussi, quasi-Isometrie, Milnor-Svarc
Lernziele:

• Metrische Realisierung von Graphen
  
• Eigentlich diskontinuierliche Wirkungen
  
• Satz von Milnor Schwarz
  
• Welche Graphen sind Cayleygraphen einer Gruppe?

Notizen: 05 - Cayleygraphen und Milnor-Svarc
Problem sheet 5

Woche 06 (KW47): Satz von Milnor-Svarc und QI-Invarianten  

Inhalt: Folgerungen aus Milnor-Svarc, Quasi-Isometrie, QI-Invarianten und Beispiele dafür
Lernziele:

• Quasi-Isometrien und ihre Eigenschaften
  
• Gruppen als Symmetrien von Räumen
  
• Was sind geometrische Wirkungen? Warum sind sie interessant?
  
• Welche Eigenschaften einer Gruppe sind invariant unter grober-Äquivalenz?

Notizen: 06 - Quasi-Isometrie, QI-Definitionen
Problem sheet 6

Woche 07 (KW48): Rest QI-Invarianten & Hyperbolische Räume  

Inhalt: endlich präsentiert ist geometrisch; Krümmung, dünne Dreiecke
Lernziele:

• Was sind quasi-Isometrie - Invarianten?
  
• Endlich präsentierte Gruppen
  
• Der Präsentationskomplex - jede f.p. Gruppe ist Symmetriemenge eines schönen Raumes
  
• Hyperbolische Räume und nicht-positive Krümmung (delta-Hyperbolizität)
  Was bedeutet Stabilität für (quasi) Geodätische

Notizen: 07 - QI-Invarianten
Problem sheet 7

Woche 08 (KW49): Rest hyperbolische Räume und das Wortproblem  

Inhalt: oberes Halbebenenmodell, verbotene UG; Das WP, Dehn-Präsentierungen
Lernziele:

• Was sind hyperbolische Gruppen?
  
• Welche Eigenschaften haben sie?
  
• Was ist das Wortproblem?
  
• Warum ist das Wortproblem für freie und hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Was sind Dehn Präsentierungen?

Notizen: 08 - Hyperbolische Räume
Problem sheet 8

Woche 09 (KW50): Das Wortproblem - Teil 2  

Inhalt: Trapping, Lösbarkeit für gewisse Gruppen
Lernziele:

• Was ist das Wortproblem?
  
• Warum ist das Wortproblem für hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Was sind Dehn Präsentierungen?
  
• Wie zeigt man den Zusammenhang zwischen Dehn-Präsentierungen und lösbarem Wortproblem?
  
• Wie funktioniert der Algorithmus zur Lösung des WPs?

Notizen: 09 - Das Wort- und Konjugationsproblem
Problem sheet 9

Woche 10 (KW51): Das Konjugationsproblem  

Inhalt: Konjugationsproblem für hyperbolische Gruppen
Lernziele:

• Was ist das Konjugationsproblem?
  
• Warum ist das Konjugationsproblem für hyperbolische Gruppen lösbar?
  
• Welche Rolle spielt dabei das Wortproblem und dessen Lösbarkeit?
  
• Wie funktioniert der Algorithmus zur Lösung des KPs?

Notizen: 09 - Das Wort- und Konjugationsproblem
Problem sheet 10

Woche 11 (KW2): Gruppenwachstum  

Inhalt: Definition Gruppenwachstum, Wachstumstypen, QI-Onvarianz
Lernziele:

• Was ist eine (verallgemeinerte) Wachstumsfunktion?
  
• Was ist der Wachstumstyp einer Gruppe?
  
• Wie zeigt man QI-Invarianz des Wachstumstyps?
  
• Wie hängt der Wachstumstyp einer Gruppe mit dem von Untergruppen zusammen?
  
• Kennen Sie Beispiele?

Notizen: 10 - Gruppenwachstum, Ergänzung - Grigorchuks Gruppe
Problem sheet 11

Woche 12 (KW3): Enden von Gruppen (Teil 1)  

Inhalt: Strahlen, Enden von Graphen, QI-Invarianz, Definition von Enden von Gruppen
Lernziele:

• Was sind eigentliche Strahlen?
  
• Wie ist das Ende eines Graphen definiert?
  
• Was ist das Ende einer Gruppe und warum ist es wohldefiniert?
  
• Wie definiert man daraus eine QI-Invariante?

Notizen: 11 - Enden von Gruppen
Problem sheet 12

Woche 13 (KW4): Enden von Gruppen (Teil 2)  

Inhalt: Satz von Freudenthal-Hopf
Lernziele:

• Was besagt der Satz?
  
• Wie zeigt man den Satz?
  
• Wie lassen sich Gruppen mit 0 bzw 2 Enden charakterisieren?
  
• Kennen Sie Beispiele?

Notizen: 12 - Enden von Gruppen - Teil 2

Woche 14 (KW5): Prüfungsvorbereitung
Mock oral exams, Prüfungsmodalitäten

It will not be necessary to consult literature beyond the lecture notes in order successfully take part in the course. Nevertheless, here are some additional resources:

• Bridson, M., Haefliger, A. - Metric spaces of non-positive curvature, Springer, 1999.
• Löh, C. - Geometric group theory. An introduction, Springer International Publishing, 2017. (SpringerLink)
• Bridson, M. - Geometric and combinatorial group theory. (Übersichtsartikel)
• Rosebrock, S. - Geometrische Gruppentheorie. Ein Einstieg mit dem Computer Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 2010. (SpringerLink)
• Stillwell, J. - Classical topology and combinatorial group theory, 2nd ed, Springer, 1993.
• Lyndon, R., Schupp, P. - Combinatorial group theory, Springer, 1977.
• Serre, J.-P. - Trees, corrected 2nd print, Springer, 2003.